下期中高一级数学试卷带答案

　　【考点】三角函数的化简求值.

　　【分析】利用同角三角函数的基本关系求得sin(α﹣ )和cos( ﹣β)的值，再利用两角差的正弦公式求得sin 的值.

　　【解答】解：∵cos(α﹣ )=﹣ ，sin( ﹣β)= ，且0<β< <α<π，

　　∴α﹣ ∈( ，π)，sin(α﹣ )= = ; ﹣β∈(0， )，cos( ﹣β)= = .

　　则sin =sin[(α﹣ )﹣( ﹣β)]=sin(α﹣ )cos( ﹣β)﹣cos(α﹣ )sin( ﹣β)

　　= • + • = .

　　12.在△ABC中，已知AC=2，BC=3，cosA=﹣ ，则sin(2B+ )=　 　.

　　【考点】三角函数的化简求值.

　　【分析】由条件利用同角三角的基本关系求得sinA的值，利用正弦定理求得sinB的值，可得cosB的值，利用二倍角公式求得sin2B、cos2B的值，再利用两角和的正弦公式，求得要求式子的值.

　　【解答】解：△ABC中，∵已知AC=2，BC=3，cosA=﹣ ∈( ，π)，∴B∈(0， )，

　　∴sinA= = ，则由正弦定理可得 = = ，

　　∴sinB= ，cosB= = ，∴sin2B=2sinBcosB= ，∴cos2B=1﹣2sin2B= ，

　　sin(2B+ )=sin2Bcos +cos2Bsin = • + • = ，

　　故答案为： .

　　13.设两条直线的方程分别为x+y+a=0，x+y+b=0，已知a，b是方程x2+x+c=0的两个实根，且0≤c≤ ，则这两条直线之间的距离的取值范围是　[ ， ]　.

　　【考点】两条平行直线间的距离.

　　【分析】由题意和韦达定理可得a+b=﹣1，ab=c，可得两平行线间的距离d满足d2= = = ，由0≤c≤ 和不等式的性质可得.

　　【解答】解：∵a，b是方程x2+x+c=0的两个实根，

　　∴由韦达定理可得a+b=﹣1，ab=c，

　　∴两平行线间的距离d= ，

　　故d2= = = ，

　　∵0≤c≤ ，∴0≤4c≤ ，∴﹣ ≤﹣4c≤0，

　　∴ ≤1﹣4c≤1，∴ ≤ ≤ ，

　　∴ ≤d2≤ ，∴ ≤d≤

　　故答案为：[ ， ]

　　14.设点M(x0，1)，已知圆心C(2，0)，半径为1的圆上存在点N，使得∠CMN=45°，则x0的最大值为　3　.

　　【考点】直线与圆的位置关系.

　　【分析】作出对应的同学根据条件∠CMN=45°，则必有∠CMN≤∠CMT，所以只需∠CMT≥45°即可，借助于三角函数容易求出x0的范围.

　　【解答】解：易知M(x0，1)在直线y=1上，

　　设圆C的方程为(x﹣2)2+y2=1与直线y=1的交点为T，

　　假设存在点N，使得∠CMN=45°，则必有∠CMN≤∠CMT，

　　所以要是圆上存在点N，使得∠CMN=45°，只需∠CMT≥45°，

　　因为T(2，1)，

　　所以只需在Rt△CMT中，tan∠CMT= = ≥tan45°=1，

　　即|x0﹣2|≤1，

　　则﹣1≤x0﹣2≤1，

　　即1≤x0≤3

　　故x0∈[1，3].

　　则x0的最大值为3，

　　故答案为：3.

　　15.已知各项均为正数的数列{an}的首项a1=1，Sn是数列{an}的前n项和，且满足：anSn+1﹣an+1Sn+an﹣an+1= anan+1，则 S12=　3　.

　　【考点】等比数列的前n项和;等比数列的通项公式.

　　【分析】根据题意，利用等比数列的前n项和公式求出通项公式an，进一步求出数列对应的前n项和公式，再计算 S12的值.

　　【解答】解：∵anSn+1﹣an+1Sn+an﹣an+1= anan+1，且Sn+1=Sn+an+1，

　　∴(an﹣an+1)Sn+ anan+1+an﹣an+1=0，

　　∴Sn+ +1=0;

　　又∵a1=1，令n=1，则1+ +1=0，解得a2= ，

　　同理可得a3= ，

　　猜想an= ;

　　下面利用数学归纳法证明：

　　①当n=1时，a1= =1，成立;

　　②假设当n≤k(k∈N*)时成立，ak= ，则Sk= = ;

　　∵Sk+ +1=0，

　　∴ + +1=0，

　　解得ak+1= ;

　　因此当n=k+1时也成立，

　　综上，对于n∈N*，an= 都成立;

　　由等差数列的前n项和公式得，Sn= ;

　　∴ S12= × =3.

　　16.在△ABC中，3sinA+4cosB=6，3cosA+4sinB=1，则∠C的大小为　 　.

　　【考点】余弦定理.

　　【分析】已知两等式两边分别平方，相加后利用同角三角函数间的基本关系化简，求出sinC的值，即可确定出C的度数.

　　【解答】解：由3sinA+4cosB=6①，3cosA+4sinB=1②，

　　①2+②2得：(3sinA+4cosB)2+(3cosA+4sinB)2=37，

　　化简得：9+16+24(sinAcosB+cosAsinB)=37，

　　即sin(A+B)=sin(π﹣C)=sinC= ，又∠C∈(0，π)，

　　∴∠C的大小为 或 ，

　　若∠C= π，得到A+B= ，则cosA> ，所以3cosA> >1，

　　∴3cosA+4sinB>1与3cosA+4sinB=1矛盾，所以∠C≠ π，

　　∴满足题意的∠C的值为 .

　　则∠C的大小为 .

　　故答案为：

　　17.在△ABC中，AC=3，∠A= ，点D满足 =2 ，且AD= ，则BC的长为　3　.

　　【考点】三角形中的几何计算.

　　【分析】由已知，结合向量的基本运算可求得 = ，然后结合已知及向量数量积的定义及性质可求AB，最后利用余弦定理可求BC

　　【解答】解：∵ =2

　　∴ = = =

　　∵AD=| |= ，AC=| |=3，A= ，设AB=c

　　∴ =| || |cosA=

　　则13= =

　　∴13=1

　　整理可得，2c2 ﹣54=0

　　∵c>0

　　解可得，c=3

　　由余弦定理可得，a2=c2+b2﹣2bc•cosA

　　=

　　二、解答题

　　18.(1)已知sinα= ，α∈( ，π)，求sin2α;

　　(2)已知tanα= ，求tan2α的值.

　　【考点】二倍角的正切;二倍角的正弦.

　　【分析】(1)由条件利用同角三角函数的基本关系求得cosα的值，再利用二倍角公式，求得 sin2α 的值.

　　(2)由条件利用二倍角的正切公式求得tan2α的值.

　　【解答】解：(1)∵已知sinα= ，α∈( ，π)，∴cosα=﹣ =﹣ ，

　　∴sin2α=2sinαcosα=﹣ .

　　(2)∵已知tanα= ，∴tan2α= = = .

　　19.在△ABC中，

　　(1)已知 a=2bsinA，求B;

　　(2)已知a2+b2+ ab=c2，求C.

　　【考点】余弦定理;正弦定理.

　　【分析】(1)由正弦定理可得： sinA=2sinBsinA，sinA≠0，化为sinB= ，即可得出;

　　(2)利用余弦定理即可得出.

　　【解答】解：(1)∵ a=2bsinA，由正弦定理可得： sinA=2sinBsinA，sinA≠0，化为sinB= ，B∈(0，π)，∴B= 或 .

　　(2)∵a2+b2+ ab=c2，∴cosC= = =﹣ ，又C∈(0，π)，

　　∴C= .

　　20.(1)求过点A(2，3)，且垂直于直线3x+2y﹣1=0的直线方程;

　　(2)已知直线l过原点，且点M(5，0)到直线l的距离为3，求直线l的方程.

　　【考点】待定系数法求直线方程.

　　【分析】(1)由已知方程和垂直关系可得所求直线的斜率，写出点斜式方程，化为一般式即可;

　　(2)可设直线l的方程为kx﹣y=0，由点到直线的距离公式可得k的方程，解方程可得.

　　【解答】解：(1)∵直线3x+2y﹣1=0的斜率为﹣ ，

　　∴由垂直关系可得所求直线的斜率k= ，

　　又直线过点A(2，3)，∴方程为y﹣3= (x﹣2)

　　化为一般式可得2x﹣3y+5=0;

　　(2)∵直线l过原点，且点M(5，0)到直线l的距离为3，

　　∴可设直线l的方程为y=kx，即kx﹣y=0，

　　由点到直线的距离公式可得 =3，解得k=±

　　∴直线l的方程为y=± x，即3x±4y=0

《下期中高一级数学试卷带答案》阅读地址：http://xiezuoyi.com/64519/